L'Equazione di Herglotz-Wiechert: un metodo di inversione per capire la struttura della Terra



Fisica Terrestre, uno dei corsi più belli seguiti all’università: un viaggio affascinante tra le leggi della sismologia, le equazioni della gravimetria, le sorprese della geodesia ed i misteri del geomagnetismo.
Oggi vorrei condividere con voi uno degli argomenti che più mi ha affascinato: l'Equazione di Herglotz-Wiechert e la determinazione della velocità delle onde P in funzione della profondità raggiunta da un raggio uscente ad una determinata distanza epicentrale.

Inizio subito col chiedere venia per l’immagine alquanto stilizzata da me proposta, ma dovrebbe esservi d'aiuto nel comprendere il seguito.
grafico z1

Consideriamo la traiettoria curva percorsa da un raggio sismico nel caso di un incremento continuo di v con la profondità assumendo una Terra piana stratificata. Sia z1 la massima profondità raggiunta dal raggio e 1 la distanza epicentrale a cui esso emerge. Supponiamo che il raggio percorra il tratto AB nel tempo dt e che in tale intervallo infinitesimo di tempo si sia avuto un incremento della profondità pari a dz.

Possiamo scrivere:

;  










Quindi:





Quella ottenuta è la dromocrona delle onde rifratte per un modello di Terra stratificata. Come si vede, calcolando la derivata di T rispetto a si ottiene il parametro del raggio p (definito come l’inverso della velocità del raggio nel punto di massimo approfondimento) per il raggio che emerge a distanza epicentrale ∆1.
La nostra incognita è z1, ovvero la massima profondità raggiunta dal raggio sismico che emerge a distanza epicentrale 1 . Si tratta, evidentemente, di un’equazione integrale in cui il termine da calcolare è proprio un estremo di integrazione. Il risultato è:



che possiamo anche scrivere:




Ecco dunque ricavata l’equazione di Herglotz-Wiechert, detta anche equazione di inversione.

Per la Terra sferica si ricava in modo equivalente:



dove r0 è il raggio medio della Terra (6370 Km) e r1 il raggio della sfera tangente al punto di massimo approfondimento (a profondità z1).

Vediamo ora l’applicazione di quest’equazione.
Supponiamo di voler calcolare la velocità nel punto di massimo approfondimento raggiunta da un raggio sismico che emerge ad una distanza epicentrale 1 = 20°; poniamoci nel caso della Terra sferica. Sappiamo che per il raggio considerato

,

dove v1 è la velocità nel punto di massima profondità distante r1 dal centro della Terra supposta sferica. Per calcolare v1 dobbiamo trovare i valori di p1 e di r1. Il primo lo troviamo sapendo che p=dt/d∆ (la dimostrazione non la riporto): a partire dalle tabelle dei tempi d’arrivo delle onde sismiche, si calcola la pendenza della retta tangente alla curva di t in funzione di ; questo per ogni valore di  e quindi per ogni stazione.
Attenzione però ad esprimere la distanza epicentrale in radianti e non in gradi.

Quanto a r1, lo calcoliamo proprio grazie all’equazione di inversione. Il problema però consiste nel risolvere l’integrale, in quanto non conosciamo l’espressione funzionale di p e dunque non possiamo risolverlo in modo analitico. Si può ovviare all’inconveniente in tal modo: sappiamo che p diminuisce fino a raggiungere il valore minimo per p== p1 (e dunque per = 1); questo perché, considerando distanze epicentrali via via maggiori, i raggi che emergono provengono da profondità maggiori e dunque possiedono velocità maggiori nel punto di massimo approfondimento, ragion per cui p diminuisce.

L’andamento di



in funzione di sarà dunque di questo tipo:
graf


L’integrale sarà uguale all’area sottesa dalla curva e quindi, immaginando di dividere tale area in trapezoidi di altezza d∆, essa sarà uguale alla somma delle aree dei singoli trapezoidi; si avrà quindi:




dove i vari y indicano i diversi coseni iperbolici al variare di p (sono in pratica le basi maggiore e minore dei vari trapezoidi). Quindi avremo che:



Abbiamo finalmente calcolato r1 ; per conoscere v1 sarà sufficiente dividere r1 per p1 calcolato in precedenza. In questo modo possiamo dunque calcolare tutte le velocità per raggi sismici che emergono a diverse distanze epicentrali e poter dedurre un modello della velocità in relazione alla profondità raggiunta dai raggi.

Se si vuole calcolare z1 basta sottrarre r1 dal raggio medio della Terra r0.
Ecco una tabella coi dati relativi ad un’esercitazione in classe per un raggio sismico uscente ad una distanza epicentrale di 10°:

ole


PS. Consiglio vivamente a tutti coloro che seguiranno il corso di studiare da questo libro per l’esame: “Fundamentals of Geophysics” di Wiliam Lowrie.
Per saperne di più, dai un'occhiata a questo materiale dall'Università australiana.

http://rses.anu.edu.au/

Profilo dell'autore

HYBRIS: femmina (ma non troppo), geofisica di professione, scrivo per diletto. Chi mi ispira? Da Nietzsche a Voltaire, dal Maestro - quello finnico - a King, passando per tutti i piccoli grandi eroi della porta accanto che rendono questo mondo migliore. Amo: il culture shock, il fango e le stelle, i concerti, le avventure ed i posti inesplorati, l'incertezza, l'umiltà superba di chi ha cuore e menti grandi, gli animi caparbi.

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